Нечетная функция. Основные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность

Основные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность.

Функция – это одно из важнейших математических понятий. Функция – зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу – Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции – это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = – f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) – периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T – это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Основные свойства функций. Понятие функции. Область определения и значения. Четность
и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность
(возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты. Алгоритм описания функции.

Понятие функции. Область определения и значения

• Числовая функцияy=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции)

• Область определения функции D это множество значений х
• Область значений функции E это множество значений y
• График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x)

Понятие функции. Четность и нечетность

• Функция f(x)четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения f(-x)=f(x)
• График четной функции симметричен относительно оси y

• Функция f(x)нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения f(-x)=-f(x)
• График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Понятие функции. Периодичность

• Функция f(x)периодическая, с периодом T>0, если для любого x из области определения значения x+T и x-T также принадлежат области определениыя f(x)=f(x+T)=f(x-T)
• График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов

Нули функции:

• Нуль функции f(x) – значение аргумента x, при котором функция обращается в нуль: f(x)=0
• В нуле функции ее график имеет общую точку (пересекается) с осью x

Промежутки знакопостоянства:

• Промежутки знакопостоянства функции f(x) это промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Монотонность (возрастание, убывание):

• Определение возрастающей функции: Функция f(x) – возрастающая на интервале (a:b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, таких, что x₁ f(x₂)

Экстремумы (максимумы и минимумы):

• Внутренняя точка x_max области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) f(x_min)
• Значение y_min=f(x_min) называется минимум функции.

Асимптоты:

• Асимтота графика это прямая, к которой неограниченно приближается точка при удалении этой точки по бесконечной ветви:

Алгоритм описания функции:

1. Область определения функции
2. Область значения функции
3. Является ли функция периодической
4. Является ли функция четной или нечетной
5. Точки пересечения графика с осями координат
6. Промежутки знакопостоянства
7. Интервалы возрастания и убывания
8. Абсциссы и ординаты точек экстремума
9. Наличие асимптот

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Конспект занятия “Чётность, нечётность, периодичность функции”

3.4 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ: ЧЁТНОСТЬ, НЕЧЁТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ.

Содержание учебного материала:

Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств функций, построение их графиков.

1.Чётная функция, определение и графическая интерпретация.

2.Нечётная функция, определение и графическая интерпретация.

3.Периодическая функция, определение и графическая интерпретация.

4.Наименьший положительный период функции.

5. Наименьшее и наибольшее значения функции.

Функцию у = f(x) называют чётной , если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство f (- x ) = f ( x ).

Функцию у = f(x) называют нечётной , если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство f(-x) = – f(x).

Функция у = f(x) не является ни чётной, ни нечётной , если хотя бы в одной точке из множества Д(х) не выполняются эти равенства.

Если график функции симметричен относительно оси ординат Оу , то функция чётная.

Если график функции симметричен относительно начала координат , то функция нечётная.

Если график функции не симметричен , то функция не является ни чётной, ни нечётной .

Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу х некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции Д(х) выполняется равенство f(x) = f(x + T ).

График периодической функции состоит из повторяющихся одинаковых кусков, каждый из которых получается параллельным переносом вправо или влево на Т единиц.

Непрерывность функции на отрезке Д(х) – означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва. График непрерывной функции представляет собой сплошную неразрывную линию.

Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве Д(х), если:

1) во множестве Д(х) существует такая точка x ₀ , что f(x ₀ ) = m

2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) >= f(x ₀ ).

Число m называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве Д(х), если:

1) во множестве Д(х) существует такая точка, что f(x ₀ ) = m

2) для любого значения х из множества Д(х) выполняется неравенство f(x) f(x ₀ ).

Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума.

Как определить что функция общего вида. Основные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

четной , если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=f(x)) .

График четной функции симметричен относительно оси (y) :

Пример: функция (f(x)=x^2+cos x) является четной, т.к. (f(-x)=(-x)^2+cos<(-x)>=x^2+cos x=f(x)) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется нечетной , если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x)) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция (f(x)=x^3+x) является нечетной, т.к. (f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)) .

(blacktriangleright) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция (f(x)=x^2-x) является суммой четной функции (f_1=x^2) и нечетной (f_2=-x) .

(blacktriangleright) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности – четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности – нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций – четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций – нечетная функция.

5) Если (f(x)) – четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin mathbb) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0) .

6) Если (f(x)) – четная или нечетная функция, и уравнение (f(x)=0) имеет корень (x=b) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень (x=-b) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется периодической на (X) , если для некоторого числа (Tne 0) выполнено (f(x)=f(x+T)) , где (x, x+Tin X) . Наименьшее (T) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида (nT) , где (nin mathbb) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций (f(x)=sin x) и (f(x)=cos x) главный период равен (2pi) , у функций (f(x)=mathrm,x) и (f(x)=mathrm,x) главный период равен (pi) .

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной (T) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

(blacktriangleright) Область определения (D(f)) функции (f(x)) – это множество, состоящее из всех значений аргумента (x) , при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции (f(x)=sqrt x+1) область определения: (xin

Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях параметра (a) уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как (x^2) и (cos x) – четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0) , оно также будет иметь и корень (-x_0) .
Действительно, пусть (x_0) – корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) верно. Подставим (-x_0) : (2 (-x_0)^2+amathrm,(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) .

Таким образом, если (x_0ne 0) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0) . Тогда:

Мы получили два значения параметра (a) . Заметим, что мы использовали то, что (x=0) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a) в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a) корень (x=0) действительно будет единственным.

1) Если (a=0) , то уравнение примет вид (2x^2=0) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0) . Следовательно, значение (a=0) нам подходит.

2) Если (a=-mathrm,1) , то уравнение примет вид Перепишем уравнение в виде Так как (-1leqslant cos xleqslant 1) , то (-mathrm,1leqslant mathrm,(cos x)leqslant mathrm,1) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку ([-mathrm^2,1; mathrm^2,1]) .

Так как (x^2geqslant 0) , то левая часть уравнения (*) больше или равна (0+ mathrm^2,1) .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны (mathrm^2,1) . А это значит, что [begin 2x^2+mathrm^2,1=mathrm^2,1 \ mathrm,1cdot mathrm,(cos x)=mathrm^2,1 end quadLeftrightarrowquad begin x=0\ mathrm,(cos x)=mathrm,1 endquadLeftrightarrowquad x=0] Следовательно, значение (a=-mathrm,1) нам подходит.

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых график функции

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x)) для любого (x) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin &3mathrm,left(-dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right)quad Rightarrowquad -3mathrm,dfrac5+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right) quad Rightarrow\ Rightarrowquad &sin dfrac<8pi a+3x>4+sin dfrac<8pi a-3x>4=0 quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac<8pi a+3x>4+dfrac<8pi a-3x>4right)cdot cos dfrac12 left(dfrac<8pi a+3x>4-dfrac<8pi a-3x>4right)=0 quad Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0 end]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x) из области определения (f(x)) , следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow a=dfrac n2, ninmathbb) .

(dfrac n2, ninmathbb)

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых уравнение имеет 4 решения, где (f) – четная периодическая с периодом (T=dfrac<16>3) функция, определенная на всей числовой прямой, причем (f(x)=ax^2) при (0leqslant xleqslant dfrac83.)

(Задача от подписчиков)

Так как (f(x)) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при (-dfrac83leqslant xleqslant 0) (f(x)=ax^2) . Таким образом, при (-dfrac83leqslant xleqslant dfrac83) , а это отрезок длиной (dfrac<16>3) , функция (f(x)=ax^2) .

1) Пусть (a>0) . Тогда график функции (f(x)) будет выглядеть следующим образом:

Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график (g(x)=|a+2|cdot sqrtx) проходил через точку (A) :

Следовательно, [dfrac<64>9a=|a+2|cdot sqrt8 quadLeftrightarrowquad left[beginbegin &9(a+2)=32a\ &9(a+2)=-32a end endright. quadLeftrightarrowquad left[beginbegin &a=dfrac<18><23>\ &a=-dfrac<18> <41>end endright.] Так как (a>0) , то подходит (a=dfrac<18><23>) .

2) Пусть (a 0) является убывающей, а при (x 0) второй модуль раскроется положительно ((|x|=x) ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, (f(x)) будет равно (kx+A) , где (A) – выражение от (a) , а (k) равно либо (-9) , либо (-3) . При (x 0) . Тогда уравнение примет вид Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*)) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*)) имеет два различных решения (положительных!, так как (t) должно быть больше нуля) (t_1) и (t_2) , то, сделав обратную замену, мы получим: [left[beginbegin &(sqrt2)^=t_1\ &(sqrt2)^=t_2endendright.] Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2) в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^ t_1>) , то первое уравнение совокупности перепишется в виде Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*)) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*)) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение ((*)) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным:

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin 12-a>0\-(a-10)>0endquadLeftrightarrowquad a 0\ 4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0\ 1 0) ). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью (d) ).

Чтобы этими корнями являлись числа (-2d, -d, d, 2d) , нужно, чтобы числа (d^<,2>, 4d^<,2>) являлись корнями уравнения (25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0) . Тогда по теореме Виета:

Перепишем уравнение в виде и рассмотрим две функции: (g(x)=20a-a^2-2^) и (f(x)=13|x|-2|5x+12a|) .
Функция (g(x)) имеет точку максимума (x=0) (причем (g_>=g(0)=-a^2+20a-4) ):
(g”(x)=-2^cdot ln 2cdot 2x) . Ноль производной: (x=0) . При (x 0) , при (x>0) : (g” 0) является возрастающей, а при (x 0) первый модуль раскроется положительно ((|x|=x) ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, (f(x)) будет равно (kx+A) , где (A) – выражение от (a) , а (k) равно либо (13-10=3) , либо (13+10=23) . При (x

Как проверить функция четная или нечетная. Основные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность

Словесное описание функции.

Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.

Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?

Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.

Попытаемся ответить на вопрос: “А существуют ли другие способы задания функции?”

Такой способ есть.

Функцию можно вполне однозначно задать словами.

Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.

Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.

Способ словесного описания – достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.

Если есть закон однозначного соответствия между х и у – значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен – формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .

Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения

Пример. Рассмотрим функцию

Она является четной. Проверим это.

Для любого х выполнены равенства

Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.

Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения

Пример. Рассмотрим функцию

Она является нечетной. Проверим это.

Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).

Для любого х выполнены равенства

Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.

Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.

Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?

Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример. Построить график функции (y=left|x right|).

Решение. Рассмотрим функцию: (fleft(x right)=left|x right|) и подставим вместо (x ) противоположное (-x ). В результате не сложных преобразований получим: $$fleft(-x right)=left|-x right|=left|x right|=fleft(x right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.

Значит эта функция – четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической – удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений.

Пример. Построить график функции (y=xleft|x right|).

Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$fleft(-x right)=xleft|-x right|=-xleft|x right|=-fleft(x right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).

Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. Такую симметрию рисовать сложнее. Это означает, что вы смотрите на график с другой строны листа да еще и перевернув вверх ногами. А можно еще так: берем нарисованную часть и вращаем ее вокруг начала координат на 180 градусов против часовой стрелки.

Пример. Построить график функции (y=x^3+x^2).

Решение. Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах. $$fleft(-x right)=left(-x right)^3+left(-x right)^2=-x^2+x^2$$ В результате получим, что: $$fleft(-x right)not=fleft(x right),fleft(-x right)not=-fleft(x right)$$ А это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции.

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^<2>-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 cdot (-0,5)^<2>-3=-2,5 .

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^<2>-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы: