4 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Нечетная функция симметрична относительно оси. Четные и нечетные функции. Периодические функции

Четные и нечетные функции

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Четные и нечетные функции

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется четной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=f(x)) .

График четной функции симметричен относительно оси (y) :

Пример: функция (f(x)=x^2+cos x) является четной, т.к. (f(-x)=(-x)^2+cos<(-x)>=x^2+cos x=f(x)) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется нечетной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x)) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция (f(x)=x^3+x) является нечетной, т.к. (f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)) .

(blacktriangleright) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция (f(x)=x^2-x) является суммой четной функции (f_1=x^2) и нечетной (f_2=-x) .

(blacktriangleright) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если (f(x)) — четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin mathbb) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0) .

6) Если (f(x)) — четная или нечетная функция, и уравнение (f(x)=0) имеет корень (x=b) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень (x=-b) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется периодической на (X) , если для некоторого числа (Tne 0) выполнено (f(x)=f(x+T)) , где (x, x+Tin X) . Наименьшее (T) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида (nT) , где (nin mathbb) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций (f(x)=sin x) и (f(x)=cos x) главный период равен (2pi) , у функций (f(x)=mathrm,x) и (f(x)=mathrm,x) главный период равен (pi) .

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной (T) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

(blacktriangleright) Область определения (D(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений аргумента (x) , при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции (f(x)=sqrt x+1) область определения: (xin [0;+infty)) .

(blacktriangleright) Область значений (E(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений функции (f(a)) , где (ain D(f)) .

Читать еще:  Что необходимо класть в лунку при посадке помидоров

Пример: у функции (f(x)=sqrt x +1) область значений: (f(x)in [1;+infty)) .

(blacktriangleright) Уравнение (f(x)=a) имеет решение тогда и только тогда, когда (a) принадлежит области значений функции (f(x)) , т.е. (ain E(f)) .

(blacktriangleright) Если область значений функции (f(x)) не превышает некоторого числа (A) , т.е. (f(x)leq A) при всех (xin D(f)) , а функция (g(x)geq A) при всех (xin D(g)) , то уравнение [> Leftrightarrow begin f(x)=A\g(x)=Aend]

При каких значениях параметра (a) уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как (x^2) и (cos x) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0) , оно также будет иметь и корень (-x_0) .
Действительно, пусть (x_0) – корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) верно. Подставим (-x_0) : (2 (-x_0)^2+amathrm,(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) .

Таким образом, если (x_0ne 0) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0) . Тогда:

[2cdot 0+amathrm,(cos 0)+a^2=0 quad Rightarrow quad a^2+amathrm,1=0 quad Rightarrow quad left[ beginbegin &a=0\ &a=-mathrm,1 end endright.]

Мы получили два значения параметра (a) . Заметим, что мы использовали то, что (x=0) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a) в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a) корень (x=0) действительно будет единственным.

1) Если (a=0) , то уравнение примет вид (2x^2=0) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0) . Следовательно, значение (a=0) нам подходит.

2) Если (a=-mathrm,1) , то уравнение примет вид [2x^2-mathrm,1cdot mathrm,(cos x)+mathrm^2,1=0] Перепишем уравнение в виде [2x^2+mathrm^2,1=mathrm,1cdot mathrm,(cos x)qquad (*)] Так как (-1leqslant cos xleqslant 1) , то (-mathrm,1leqslant mathrm,(cos x)leqslant mathrm,1) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку ([-mathrm^2,1; mathrm^2,1]) .

Так как (x^2geqslant 0) , то левая часть уравнения (*) больше или равна (0+ mathrm^2,1) .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны (mathrm^2,1) . А это значит, что [begin 2x^2+mathrm^2,1=mathrm^2,1 \ mathrm,1cdot mathrm,(cos x)=mathrm^2,1 end quadLeftrightarrowquad begin x=0\ mathrm,(cos x)=mathrm,1 endquadLeftrightarrowquad x=0] Следовательно, значение (a=-mathrm,1) нам подходит.

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых график функции [f(x)=3mathrm,dfrac5 +2sin dfrac<8pi a-3x>4]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x)) для любого (x) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin &3mathrm,left(-dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right)quad Rightarrowquad -3mathrm,dfrac5+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right) quad Rightarrow\[3ex] Rightarrowquad &sin dfrac<8pi a+3x>4+sin dfrac<8pi a-3x>4=0 quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac<8pi a+3x>4+dfrac<8pi a-3x>4right)cdot cos dfrac12 left(dfrac<8pi a+3x>4-dfrac<8pi a-3x>4right)=0 quad Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0 end]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x) из области определения (f(x)) , следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow a=dfrac n2, ninmathbb) .

(dfrac n2, ninmathbb)

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых уравнение [f(x)=|a+2|sqrt[3]x] имеет 4 решения, где (f) – четная периодическая с периодом (T=dfrac<16>3) функция, определенная на всей числовой прямой, причем (f(x)=ax^2) при (0leqslant xleqslant dfrac83.)

(Задача от подписчиков)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково — ВКонтакте

Решение будет опубликовано 07.03.2020 в 09:00

Найдите все значения (a) , при каждом из которых уравнение [a^2-7a+7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|]

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

Перепишем уравнение в виде [7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a] и рассмотрим две функции: (g(x)=7sqrt<2x^2+49>) и (f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a) .
Функция (g(x)) является четной, имеет точку минимума (x=0) (причем (g(0)=49) ).
Функция (f(x)) при (x>0) является убывающей, а при (x 0) второй модуль раскроется положительно ( (|x|=x) ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, (f(x)) будет равно (kx+A) , где (A) – выражение от (a) , а (k) равно либо (-9) , либо (-3) . При (x 0\ a^2-28a+49leqslant 0 end\ &begin a 0) . Тогда уравнение примет вид [t^2+(a-10)t+12-a=0quad (*)] Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*)) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*)) имеет два различных решения (положительных!, так как (t) должно быть больше нуля) (t_1) и (t_2) , то, сделав обратную замену, мы получим: [left[beginbegin &(sqrt2)^=t_1\[2ex] &(sqrt2)^=t_2endendright.] Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2) в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^ t_1>) , то первое уравнение совокупности перепишется в виде [x^3-3x^2+4=log_ t_1] Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*)) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*)) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Читать еще:  Необычная отделка стен изнутри — доступные и оригинальные варианты с фото

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение ((*)) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: [D=a^2-16a+52>0quadLeftrightarrowquad ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin 12-a>0\-(a-10)>0endquadLeftrightarrowquad a 0\[1ex] 4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0\[2ex] 1 0) ). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью (d) ).

Чтобы этими корнями являлись числа (-2d, -d, d, 2d) , нужно, чтобы числа (d^<,2>, 4d^<,2>) являлись корнями уравнения (25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0) . Тогда по теореме Виета:

Причем при (a=-2) (d=pm sqrt) , а при (a=3) (din varnothing) . Значит, подходит значение (a=-2) и (d=sqrt) (т.к. должно быть (d>0) ).

Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции

Содержание

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^<2>-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 cdot (-0,5)^<2>-3=-2,5 .

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^<2>-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

D(f)=(-infty ; +infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 cdot (-x)^<3>-7 cdot (-x)^<7>= -3x^<3>+7x^<7>= -(3x^<3>-7x^<7>)= -f(x) .

Значит, функция f(x)=3x^<3>-7x^ <7>является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T neq 0 .

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_<1>; x_<2>) cup (x_<3>; +infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) 0 , для которого выполняется неравенство left | f(x) right | neq K для любого x in X .

Пример ограниченной функции: y=sin x ограничена на всей числовой оси, так как left | sin x right | neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) > y(x_<2>) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) 0 четная функция возрастает, то убывает она при x 0 четная функция убывает, то возрастает она при x 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x 0 , то она будет убывать и при x f(x_<0>) . y_ — обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_ <0>, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_ <0>), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)

Основные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность.

Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Читать еще:  Коронка по бетону для подрозетников

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T — это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Расшифровка ответов следующая:
• even – четная функция
• odd – нечетная функция
• neither even nor odd – функция общего вида

  • : x^a

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector