Ни нечетная. График четной и нечетной функций

Четные и нечетные функции

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Четные и нечетные функции

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется четной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=f(x)) .

График четной функции симметричен относительно оси (y) :

Пример: функция (f(x)=x^2+cos x) является четной, т.к. (f(-x)=(-x)^2+cos<(-x)>=x^2+cos x=f(x)) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется нечетной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x)) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция (f(x)=x^3+x) является нечетной, т.к. (f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)) .

(blacktriangleright) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция (f(x)=x^2-x) является суммой четной функции (f_1=x^2) и нечетной (f_2=-x) .

(blacktriangleright) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если (f(x)) — четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin mathbb) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0) .

6) Если (f(x)) — четная или нечетная функция, и уравнение (f(x)=0) имеет корень (x=b) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень (x=-b) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется периодической на (X) , если для некоторого числа (Tne 0) выполнено (f(x)=f(x+T)) , где (x, x+Tin X) . Наименьшее (T) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида (nT) , где (nin mathbb) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций (f(x)=sin x) и (f(x)=cos x) главный период равен (2pi) , у функций (f(x)=mathrm,x) и (f(x)=mathrm,x) главный период равен (pi) .

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной (T) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

(blacktriangleright) Область определения (D(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений аргумента (x) , при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции (f(x)=sqrt x+1) область определения: (xin [0;+infty)) .

(blacktriangleright) Область значений (E(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений функции (f(a)) , где (ain D(f)) .

Пример: у функции (f(x)=sqrt x +1) область значений: (f(x)in [1;+infty)) .

(blacktriangleright) Уравнение (f(x)=a) имеет решение тогда и только тогда, когда (a) принадлежит области значений функции (f(x)) , т.е. (ain E(f)) .

(blacktriangleright) Если область значений функции (f(x)) не превышает некоторого числа (A) , т.е. (f(x)leq A) при всех (xin D(f)) , а функция (g(x)geq A) при всех (xin D(g)) , то уравнение [> Leftrightarrow begin f(x)=A\g(x)=Aend]

При каких значениях параметра (a) уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как (x^2) и (cos x) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0) , оно также будет иметь и корень (-x_0) .
Действительно, пусть (x_0) – корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) верно. Подставим (-x_0) : (2 (-x_0)^2+amathrm,(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) .

Таким образом, если (x_0ne 0) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0) . Тогда:

[2cdot 0+amathrm,(cos 0)+a^2=0 quad Rightarrow quad a^2+amathrm,1=0 quad Rightarrow quad left[ beginbegin &a=0\ &a=-mathrm,1 end endright.]

Мы получили два значения параметра (a) . Заметим, что мы использовали то, что (x=0) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a) в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a) корень (x=0) действительно будет единственным.

1) Если (a=0) , то уравнение примет вид (2x^2=0) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0) . Следовательно, значение (a=0) нам подходит.

2) Если (a=-mathrm,1) , то уравнение примет вид [2x^2-mathrm,1cdot mathrm,(cos x)+mathrm^2,1=0] Перепишем уравнение в виде [2x^2+mathrm^2,1=mathrm,1cdot mathrm,(cos x)qquad (*)] Так как (-1leqslant cos xleqslant 1) , то (-mathrm,1leqslant mathrm,(cos x)leqslant mathrm,1) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку ([-mathrm^2,1; mathrm^2,1]) .

Так как (x^2geqslant 0) , то левая часть уравнения (*) больше или равна (0+ mathrm^2,1) .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны (mathrm^2,1) . А это значит, что [begin 2x^2+mathrm^2,1=mathrm^2,1 \ mathrm,1cdot mathrm,(cos x)=mathrm^2,1 end quadLeftrightarrowquad begin x=0\ mathrm,(cos x)=mathrm,1 endquadLeftrightarrowquad x=0] Следовательно, значение (a=-mathrm,1) нам подходит.

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых график функции [f(x)=3mathrm,dfrac5 +2sin dfrac<8pi a-3x>4]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x)) для любого (x) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin &3mathrm,left(-dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right)quad Rightarrowquad -3mathrm,dfrac5+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right) quad Rightarrow\[3ex] Rightarrowquad &sin dfrac<8pi a+3x>4+sin dfrac<8pi a-3x>4=0 quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac<8pi a+3x>4+dfrac<8pi a-3x>4right)cdot cos dfrac12 left(dfrac<8pi a+3x>4-dfrac<8pi a-3x>4right)=0 quad Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0 end]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x) из области определения (f(x)) , следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow a=dfrac n2, ninmathbb) .

(dfrac n2, ninmathbb)

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых уравнение [f(x)=|a+2|sqrt[3]x] имеет 4 решения, где (f) – четная периодическая с периодом (T=dfrac<16>3) функция, определенная на всей числовой прямой, причем (f(x)=ax^2) при (0leqslant xleqslant dfrac83.)

(Задача от подписчиков)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково – ВКонтакте

Решение будет опубликовано 07.03.2020 в 09:00

Найдите все значения (a) , при каждом из которых уравнение [a^2-7a+7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|]

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

Перепишем уравнение в виде [7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a] и рассмотрим две функции: (g(x)=7sqrt<2x^2+49>) и (f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a) .
Функция (g(x)) является четной, имеет точку минимума (x=0) (причем (g(0)=49) ).
Функция (f(x)) при (x>0) является убывающей, а при (x 0) второй модуль раскроется положительно ( (|x|=x) ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, (f(x)) будет равно (kx+A) , где (A) – выражение от (a) , а (k) равно либо (-9) , либо (-3) . При (x 0\ a^2-28a+49leqslant 0 end\ &begin a 0) . Тогда уравнение примет вид [t^2+(a-10)t+12-a=0quad (*)] Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*)) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*)) имеет два различных решения (положительных!, так как (t) должно быть больше нуля) (t_1) и (t_2) , то, сделав обратную замену, мы получим: [left[beginbegin &(sqrt2)^=t_1\[2ex] &(sqrt2)^=t_2endendright.] Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2) в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^ t_1>) , то первое уравнение совокупности перепишется в виде [x^3-3x^2+4=log_ t_1] Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*)) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*)) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение ((*)) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: [D=a^2-16a+52>0quadLeftrightarrowquad ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin 12-a>0\-(a-10)>0endquadLeftrightarrowquad a 0\[1ex] 4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0\[2ex] 1 0) ). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью (d) ).

Чтобы этими корнями являлись числа (-2d, -d, d, 2d) , нужно, чтобы числа (d^<,2>, 4d^<,2>) являлись корнями уравнения (25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0) . Тогда по теореме Виета:

Причем при (a=-2) (d=pm sqrt) , а при (a=3) (din varnothing) . Значит, подходит значение (a=-2) и (d=sqrt) (т.к. должно быть (d>0) ).

Четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Расшифровка ответов следующая:
• even – четная функция
• odd – нечетная функция
• neither even nor odd – функция общего вида

• : x^a

• : Sqrt[x]
• : x^(1/n)
• : a^x
• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]

Ни нечетная. График четной и нечетной функций

Четная функция.

Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.

Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.

График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).

Примеры четной функции:

Пояснение:
Возьмем функцию y = x 2 или y = –x 2 .
При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.

Нечетная функция.

Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.

Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).

Примеры нечетной функции:

Пояснение:

Возьмем функцию y = –x 3 .
Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.

Свойства четной и нечетной функций:

1) Сумма четных функций является четной функцией.
Сумма нечетных функций является нечетной функцией.

2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна.
Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна.

3) Произведение двух четных функций является четной функцией.
Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией.

4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.

Периодические функции.

Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.

Нечетная функция

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Содержание

Определения

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

• Функция f называется чётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координатO .
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy .
• Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x) = g(x) + h(x),

• Функция — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
• Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
• Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
• Композиция двух нечётных функция нечётна.
• Композиция двух чётных функций чётна.
• Композиция чётной функции с нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степеньгде — произвольное целое число.
• Синус.
• Тангенс.

Чётные функции

• Чётная степень где — произвольное целое число.
• Косинус.

Вариации и обобщения

• Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое “Нечетная функция” в других словарях:

НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х … Большой Энциклопедический словарь

нечетная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN odd function … Справочник технического переводчика

НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного, т. е. функция, удовлетворяющая условию . График Н. ф. симметричен относительно начала координат … Математическая энциклопедия

нечётная функция — функция, удовлетворяющая равенству f(–х) = f(х) при всех х. * * * НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х … Энциклопедический словарь

Единичная функция Хевисайда — Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов … Википедия

Единичная Хевисайда — Единичная функция Хевисайда Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов … Википедия

Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… … Википедия

ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — (обратный оператор) к однозначному отображению (оператору) однозначное отображение gтакое, что где нек рые множества. Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) левым обратным отображением к… … Математическая энциклопедия

ЯКОБИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel).… … Математическая энциклопедия

ВЕИЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с… … Математическая энциклопедия