Определить четная или нечетная. Четность функции

Четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Расшифровка ответов следующая:
• even – четная функция
• odd – нечетная функция
• neither even nor odd – функция общего вида

• : x^a

• : Sqrt[x]
• : x^(1/n)
• : a^x
• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]

Четность и нечетность функции – алгоритм исследования, условие и примеры

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

1. Область определения — D (f).
2. Виды.
3. Правила.
4. Свойства для четных и нечетных.
5. Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

• Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
• Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

• Разложить при необходимости на простые элементы.
• Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
• Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
• Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
• Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

• Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
• Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
• Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
• Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
• Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
• При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
• Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
• Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
• Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
• Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

• Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
• Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
• Радикал положительной нечетной степени.
• Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
• Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
• Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
• Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
• Интегральный синус: Si (x).
• Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

• Возведение в четную и целую степень.
• Модуль аргумента.
• Константа.
• Тригонометрические: cos (x) и sec (x).
• Гиперболические: косинус и секанс.
• Дельта-функция Дирака: z (x) = δ(x).
• Гаусса: z (x) = a * exp[(-(x — b)^2) / 2c 2 ].
• Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

• Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
• Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность).
• График функции является симметричным, поскольку задан параболой.
• Выполнить анализ по формулам: g (-y) = (-y)^2 + y — 2 = y 2 + y — 2 и h (-y) = (-y)^2 — 1 = y 2 — 1.
• В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Четные и нечетные функции

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
• развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
• воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:

1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

3. Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

и 0

и не опред.

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у = х n , где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.
– Функции вида у = и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у= .

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у = ,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3) f (– х) = f (х) => функция f(х) = чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

Вывод:

1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

– Верны ли обратные утверждения?

1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

– Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать
свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5. Первичное закрепление

Самостоятельная работа

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2), (–4; 4]?

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

а) у = х 2 · (2х – х 3 ), б) у =

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) = при х = 3.

Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции

Содержание

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^<2>-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 cdot (-0,5)^<2>-3=-2,5 .

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^<2>-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

D(f)=(-infty ; +infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 cdot (-x)^<3>-7 cdot (-x)^<7>= -3x^<3>+7x^<7>= -(3x^<3>-7x^<7>)= -f(x) .

Значит, функция f(x)=3x^<3>-7x^ <7>является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T neq 0 .

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 – отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_<1>; x_<2>) cup (x_<3>; +infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) 0 , для которого выполняется неравенство left | f(x) right | neq K для любого x in X .

Пример ограниченной функции: y=sin x ограничена на всей числовой оси, так как left | sin x right | neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) > y(x_<2>) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) 0 четная функция возрастает, то убывает она при x 0 четная функция убывает, то возрастает она при x 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x 0 , то она будет убывать и при x f(x_<0>) . y_ – обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_ <0>, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_ <0>), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)

Четные и нечетные функции

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется четной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=f(x)) .

График четной функции симметричен относительно оси (y) :

Пример: функция (f(x)=x^2+cos x) является четной, т.к. (f(-x)=(-x)^2+cos<(-x)>=x^2+cos x=f(x)) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется нечетной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x)) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция (f(x)=x^3+x) является нечетной, т.к. (f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)) .

(blacktriangleright) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция (f(x)=x^2-x) является суммой четной функции (f_1=x^2) и нечетной (f_2=-x) .

(blacktriangleright) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если (f(x)) — четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin mathbb) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0) .

6) Если (f(x)) — четная или нечетная функция, и уравнение (f(x)=0) имеет корень (x=b) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень (x=-b) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется периодической на (X) , если для некоторого числа (Tne 0) выполнено (f(x)=f(x+T)) , где (x, x+Tin X) . Наименьшее (T) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида (nT) , где (nin mathbb) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций (f(x)=sin x) и (f(x)=cos x) главный период равен (2pi) , у функций (f(x)=mathrm,x) и (f(x)=mathrm,x) главный период равен (pi) .

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной (T) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

(blacktriangleright) Область определения (D(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений аргумента (x) , при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции (f(x)=sqrt x+1) область определения: (xin [0;+infty)) .

(blacktriangleright) Область значений (E(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений функции (f(a)) , где (ain D(f)) .

Пример: у функции (f(x)=sqrt x +1) область значений: (f(x)in [1;+infty)) .

(blacktriangleright) Уравнение (f(x)=a) имеет решение тогда и только тогда, когда (a) принадлежит области значений функции (f(x)) , т.е. (ain E(f)) .

(blacktriangleright) Если область значений функции (f(x)) не превышает некоторого числа (A) , т.е. (f(x)leq A) при всех (xin D(f)) , а функция (g(x)geq A) при всех (xin D(g)) , то уравнение [> Leftrightarrow begin f(x)=A\g(x)=Aend]

При каких значениях параметра (a) уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как (x^2) и (cos x) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0) , оно также будет иметь и корень (-x_0) .
Действительно, пусть (x_0) – корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) верно. Подставим (-x_0) : (2 (-x_0)^2+amathrm,(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) .

Таким образом, если (x_0ne 0) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0) . Тогда:

[2cdot 0+amathrm,(cos 0)+a^2=0 quad Rightarrow quad a^2+amathrm,1=0 quad Rightarrow quad left[ beginbegin &a=0\ &a=-mathrm,1 end endright.]

Мы получили два значения параметра (a) . Заметим, что мы использовали то, что (x=0) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a) в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a) корень (x=0) действительно будет единственным.

1) Если (a=0) , то уравнение примет вид (2x^2=0) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0) . Следовательно, значение (a=0) нам подходит.

2) Если (a=-mathrm,1) , то уравнение примет вид [2x^2-mathrm,1cdot mathrm,(cos x)+mathrm^2,1=0] Перепишем уравнение в виде [2x^2+mathrm^2,1=mathrm,1cdot mathrm,(cos x)qquad (*)] Так как (-1leqslant cos xleqslant 1) , то (-mathrm,1leqslant mathrm,(cos x)leqslant mathrm,1) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку ([-mathrm^2,1; mathrm^2,1]) .

Так как (x^2geqslant 0) , то левая часть уравнения (*) больше или равна (0+ mathrm^2,1) .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны (mathrm^2,1) . А это значит, что [begin 2x^2+mathrm^2,1=mathrm^2,1 \ mathrm,1cdot mathrm,(cos x)=mathrm^2,1 end quadLeftrightarrowquad begin x=0\ mathrm,(cos x)=mathrm,1 endquadLeftrightarrowquad x=0] Следовательно, значение (a=-mathrm,1) нам подходит.

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых график функции [f(x)=3mathrm,dfrac5 +2sin dfrac<8pi a-3x>4]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x)) для любого (x) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin &3mathrm,left(-dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right)quad Rightarrowquad -3mathrm,dfrac5+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right) quad Rightarrow\[3ex] Rightarrowquad &sin dfrac<8pi a+3x>4+sin dfrac<8pi a-3x>4=0 quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac<8pi a+3x>4+dfrac<8pi a-3x>4right)cdot cos dfrac12 left(dfrac<8pi a+3x>4-dfrac<8pi a-3x>4right)=0 quad Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0 end]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x) из области определения (f(x)) , следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow a=dfrac n2, ninmathbb) .

(dfrac n2, ninmathbb)

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых уравнение [f(x)=|a+2|sqrt[3]x] имеет 4 решения, где (f) – четная периодическая с периодом (T=dfrac<16>3) функция, определенная на всей числовой прямой, причем (f(x)=ax^2) при (0leqslant xleqslant dfrac83.)

(Задача от подписчиков)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково – ВКонтакте

Решение будет опубликовано 07.03.2020 в 09:00

Найдите все значения (a) , при каждом из которых уравнение [a^2-7a+7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|]

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

Перепишем уравнение в виде [7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a] и рассмотрим две функции: (g(x)=7sqrt<2x^2+49>) и (f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a) .
Функция (g(x)) является четной, имеет точку минимума (x=0) (причем (g(0)=49) ).
Функция (f(x)) при (x>0) является убывающей, а при (x 0) второй модуль раскроется положительно ( (|x|=x) ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, (f(x)) будет равно (kx+A) , где (A) – выражение от (a) , а (k) равно либо (-9) , либо (-3) . При (x 0\ a^2-28a+49leqslant 0 end\ &begin a 0) . Тогда уравнение примет вид [t^2+(a-10)t+12-a=0quad (*)] Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*)) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*)) имеет два различных решения (положительных!, так как (t) должно быть больше нуля) (t_1) и (t_2) , то, сделав обратную замену, мы получим: [left[beginbegin &(sqrt2)^=t_1\[2ex] &(sqrt2)^=t_2endendright.] Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2) в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^ t_1>) , то первое уравнение совокупности перепишется в виде [x^3-3x^2+4=log_ t_1] Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*)) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*)) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение ((*)) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: [D=a^2-16a+52>0quadLeftrightarrowquad ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin 12-a>0\-(a-10)>0endquadLeftrightarrowquad a 0\[1ex] 4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0\[2ex] 1 0) ). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью (d) ).

Чтобы этими корнями являлись числа (-2d, -d, d, 2d) , нужно, чтобы числа (d^<,2>, 4d^<,2>) являлись корнями уравнения (25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0) . Тогда по теореме Виета:

Причем при (a=-2) (d=pm sqrt) , а при (a=3) (din varnothing) . Значит, подходит значение (a=-2) и (d=sqrt) (т.к. должно быть (d>0) ).